Контрольная Физический маятник. Лабораторная работа №3. Учебная работа № 187636

Учебная работа № 187636. Контрольная Физический маятник. Лабораторная работа №3

Выдержка из похожей работы

…….

Движения физического маятника и его модель в Maple

…..же стержень заменить на растяжимую
нить, то это система с двумя степенями свободы со связью. При малых колебаниях
физический маятник колеблется так же, как математический с приведённой длиной.
1.1    Уравнение
колебаний математического маятника
Колебания математического маятника
описываются обыкновенным дифференциальным уравнением вида
где ω ―
положительная константа,
определяемая исключительно из параметров маятника. Неизвестная функция  ― это угол
отклонения маятника в момент  от нижнего положения равновесия, выраженный в радианах;
где  ― длина
подвеса,  ―
ускорение свободного падения. Уравнение малых колебаний маятника около нижнего
положения равновесия (т. н. гармоническое уравнение) имеет вид:
1.2    Гармонические
колебания
Маятник, совершающий малые колебания,
движется по синусоиде. Поскольку уравнение движения является обыкновенным ДУ
второго порядка, для определения закона движения маятника необходимо задать два
начальных условия – координату и скорость, из которых определяются две
независимых константы:
где  амплитуда колебаний маятника,  – начальная фаза колебаний, – циклическая частота, которая определяется из уравнения движения.
Движение, совершаемое маятником, называется гармоническими колебаниями.
1.3    Нелинейный маятник
Для маятника, совершающего колебания с
большой амплитудой, закон движения более сложен:
где  – это синус Якоби. Для  он является периодической функцией, при малых  совпадает с обычным тригонометрическим синусом.
Параметр  определяется выражением
где  – энергия
маятника в единицах t−2.
Период колебаний нелинейного маятника
где K – эллиптический интеграл первого рода.
Для вычислений практически удобно разлагать эллиптический интеграл
в ряд:
,
где
период малых колебаний,  – максимальный угол отклонения маятника от вертикали.
При углах до 1 радиана (≈60°) с приемлемой точностью (ошибка
менее 1%) можно ограничиться первым приближением:
1.4    Физический маятник
Физический маятник – осциллятор, представляющий
собой твёрдое тело, совершающее колебания в поле каких-либо сил относительно
точки, не являющейся центром масс этого тела, или неподвижной оси,
перпендикулярной направлению действия сил и не проходящей через центр масс
этого тела.
Обозначения:
·              θ – угол отклонения маятника от равновесия;
·              α – начальный угол отклонения маятника;
·              – масса маятника;
·              – расстояние от точки подвеса до центра тяжести маятника;
·              – радиус инерции относительно оси, проходящей через центр
тяжести.
·              – ускорение свободного падения.
Момент инерции относительно оси,
проходящей через точку подвеса:
Дифференциальное уравнение движения
физического маятника
Пренебрегая сопротивлением среды,
дифференциальное уравнение колебаний физического маятника в поле силы тяжести
записывается следующим образом:
Полагая , предыдущее уравнение можно переписать в виде:
Последнее ур…