Контрольная Физика, задачи 133,148. Учебная работа № 188282

Учебная работа № 188282. Контрольная Физика, задачи 133,148

Выдержка из похожей работы

…….

Решение численными методами краевой задачи математической физики

…..ловия
Так как на левом конце стержень защемлен, а к праву концу
стержня применяется растягивающая сила, то граничные условия имеют следующий
вид:
 
Начальные
условия
Так как колебания происходят под воздействием растягивающей
силы и в начальный момент стержень находится в покое, то начальные условия
можно записать следующим образом:
1.2
Вывод уравнения движения из основных законов физики
Стержень — упругое твёрдое тело, длина которого значительно
превышает его поперечные размеры.
Рассмотрим стержень цилиндрической формы, на который действует
вдоль оси стержня сила .
Исследуем такие колебания стержня, при которых поперечные сечения
площадью , перемещаясь вдоль оси стержня, остаются плоскими и параллельными
друг другу. Данные предположения оправдываются, если поперечные размеры стержня
малы по сравнению с его длиной.
Продольные колебания возникают тогда, стержень предварительно
немного растягивается (или сжимается), а затем предоставляется самому себе.
Рис. 1. Стержень
Направим ось  вдоль оси стержня и будем считать, что в состоянии покоя концы
стержня имеют соответственно абсциссы  и . Рассмотрим сечение ;  его абсцисса в состоянии покоя. Смещение этого сечения в любой
момент времени  будет характеризоваться функцией
Найдём относительное удлинение участка стержня, ограниченного
сечениями  и .
Если абсцисса сечения  в состоянии покоя , то смещение этого стержня в момент времени  с точностью до бесконечно малых высшего порядка равно:
Отсюда ясно, что относительное удлинение стержня в сечении с
абсциссой  в момент времени  выражается производной:
Считая, что стержень совершает малые колебания, можно вычислить
натяжение, вызывающие это удлинение. Натяжение подчиняется закону Гука. Найдем
величину силы натяжения , действующей на сечение :
где  — площадь поперечного сечения стержня, а  модуль упругости (модуль Юнга) материала стержня.
Соответственно сила , действующая на сечение  равна
Возьмем элемент стержня, заключённый между сечениями  и . На этот элемент действуют силы  и , приложенные в этих сечениях и направленные вдоль оси . Результирующая этих сил имеет величину
и направлена также вдоль оси .
С другой стороны, ускорение элемента равно , вследствие чего, используя второй закон Ньютона , мы можем написать равенство
                                             (1)
где  объёмная плотность стержня, масса выделенного участка стержня
Сокращая  и вводя обозначение , для свободных продольных колебаний однородного стержня  можно получить дифференциальное уравнение в частных производных:
                                      (2)
Форма этого уравнения показывает, что продольные колебания стержня
носят волновой характер, причём скорость распространения продольных волн
определяется формулой
Если дополнительно предположить, что к стержню приложена внешняя
сила , рассчитанная на единицу объёма и действующая вдоль оси стержня,
то к правой части уравнения (1) добавится слагаемое  и уравнение (1) примет вид:
          (3)
                               (4)
это уравнение вынужденных продольных колебаний стержня.
1.3
Проверка задачи по критерию размерности
Вывод: размерности совпадают
1.4
Аналитическое решение задачи
Граничные условия:
Начальные условия:
Так как граничные условия ненулевые, использовать напрямую метод
Фурье нельзя. С помощью введения новой переменной , приведём граничные условия к нулю:
тогда: граничные условия:
начальные условия:
частные производные:
 .
Таким образом, постановка задачи для новой функции  имеет следующий вид:
граничные условия:
начальные условия:
В силу того, что задача неоднородна представим функцию  в виде:
где функция  будет описывать собственный колебаний стержня, а  — вын…