Контрольная Основы квантовой механики, атомной и ядерной физики, 7 задач. Учебная работа № 188338

Учебная работа № 188338. Контрольная Основы квантовой механики, атомной и ядерной физики, 7 задач

Выдержка из похожей работы

…….

Элементы квантовой механики

…..х.
Тем не менее, покажем, каким образом можно прийти к уравнению Шредингера,
производя разумное обобщение волнового уравнения, известного, например, в
классической электродинамике на случай дебройлевских волн [1]. С этой целью
возьмем волновое уравнение в общем виде
 (1)
Здесь функция  описывает
волновой процесс, распространяющийся со скоростью u. Если волна является
монохроматической, то решение уравнения (1) можно искать
 (2)
где ω=2πν – круговая
частота, а пространственная часть волновой функции подчиняется уравнению
 (3)
В последнем уравнении вместо двух параметров ω
и
u мы можем ввести только один, а именно длину волны
 (4)
Тогда
 (5)
Для того чтобы из этого волнового уравнения,
имеющего, вообще говоря, универсальный характер, получить волновое уравнение,
позволяющее описывать волновое движение электронов, подставим сюда вместо λ
выражение
для дебройлевской длины волны
 (6)
Учитывая далее закон сохранения энергии
 [5]
Находим
 (7)
Подставляя это выражение в уравнение (5),
получаем стационарное (т.е. не зависящее от времени) уравнение Шрёдингера [1]
 (8)
Полная волновая функция, зависящая как от
пространственных, так и от временной координат, может быть найдена с помощью
формулы (2). Полагая , имеем:
 (9)
Комплексно сопряженная волновая функция в этом
случае равна:
 (9а)
2. Условия, налагаемые на волновые функции,
собственные функции и собственный значения
Согласно Борну, волновой функции ψ(t)
следует
дать статистическую (вероятностную) интерпретацию. В частности, квадрат модуля(t)ψ(t)
=  играет
роль функции распределения и характеризует плотность вероятности обнаружить
частицу в момент времени t в объеме пространства с координатами, лежащими между
r и r+dr.
Если плотность вероятности  отлична
от нуля только в конечной части пространства, то можно с достоверностью
считать, что частица локализована где-то в этой области[3], т.е. вероятность
обнаружить там частицу должна равняться единице
 (10)
Выражение (10) называется условием нормировки.
Следует заметить, что не всегда область отличной от нуля плотности вероятности
будет ограниченной. В некоторых случаях (простейший из них – свободное движение
частицы) величина  не обращается в
нуль во всем пространстве. В таких случаях интеграл  расходится
и условие нормировки требует несколько другой формулировки (см. ниже).
Перейдем теперь к общему анализу уравнения
Шредингера. Уравнение Шредингера (8) представляет собой дифференциальное
уравнение второго порядка в частных производных. Его решение должно напоминать
решение некоторых классических задач математической физики, например уравнения
колебания струны и т.д.
На волновую функцию ψ,
как
на решение, удовлетворяющее уравнению второго порядка типа Штурма-Лиувилля,
должны: быть наложены следующие условия. Она должна быть непрерывной и иметь
непрерывную производную; кроме того, она должна быть однозначной и конечной во
всем пространстве, а также удовлетворять определенным граничным условиям.
Эти требования приводят к тому, что решения
волновых уравнений, удовлетворяющие перечисленным выше условиям, существуют,
вообще говоря, не при любых, а только при некоторых значениях параметра, получивших
название собственных значений; в данном случае таким параметром является
энергия Е с собственными значениями E1, E2, E3, … .
Соответствующие этим собственным значен…