Контрольная Решение смешанной задачи для уравнения теплопроводности. Задача 3. Учебная работа № 187446

Учебная работа № 187446. Контрольная Решение смешанной задачи для уравнения теплопроводности. Задача 3

Выдержка из похожей работы

…….

Решение смешанной краевой задачи для гиперболического уравнения разностным методом

…..ения разностным методом».
). Реализация разностного метода применительно к
смешанной краевой задачи для гиперболического уравнения в системе
программирования Borland C++ Version 3.1.
Курсовая работа состоит из введения, двух глав,
заключения, списка литературы и приложения. Первая глава посвящена обзору
основных понятия, касающихся разностных схем. Во второй главе рассматривается
смешанная краевая задача, для которой приведен алгоритм построения разностной
схемы, а также описание программы «smesh_giperb» и её тест на конкретном
примере. В приложении представлен код программы, позволяющий получить
приближенное решение смешанной краевой задачи с граничными условиями третьего
рода.
Глава 1. Разностные методы решения
дифференциальных уравнений
Характерной особенностью различных разностных
методов является то, что в качестве приближенного решения выбирается сеточная
функция. Выделим основные пункты построения и исследования разностных схем.
. Заменить область непрерывного изменения
аргумента на дискретную область изменения. Это дискретное множество точек
называется сеткой или решеткой, а отдельные точки этого множества — узлами
сетки. Чаще всего сетка выбирается прямоугольной и равномерной.
. Заменить в узлах этой сетки производные
искомой функции разностными отношениями, использовав формулы численного
дифференцирования.
. Проверить условие аппроксимации разностной
схемы.
. Доказать устойчивость построенной разностной
схемы. Это один из наиболее важных и сложных вопросов. Если схема обладает
аппроксимацией и устойчивостью, то о сходимости разностной схемы судят о
теореме доказанной ниже.
В результате получилась система алгебраических
уравнений для определения приближённого решения. Такая система часто называется
разностной схемой. Точно так же можно заменить и частные производные и свести
краевую задачу для дифференциального уравнения в частных производных к
алгебраической системе. Функция, определенная в узлах сетки называется сеточной
функцией.
Сетка. Аппроксимация частных производных
разностными отношениями.
Мы ввели уже понятие сетки, узлов сетки,
разностной схемы и сеточной функции.
Обозначим
 — искомая функция,
,
 — открытая область
с границей ,
— сетка на ,
где h — вещественный положительный параметр, характеризующий густоту точек на
сетке.
— сеточная функция,
совпадающая с точным решением дифференциальной краевой задачи  во
всех узлах сетки , называемая точным
решением на сетке или точным сеточным решением.
Теперь рассмотрим примеры сеток.
Пример 1.
Равномерная сетка на отрезке. Разобьем единичный
отрезок [0, 1] на N равных частей. Расстояние между соседними узлами  назовем шагом
сетки. Точки деления  — узлы сетки.
Множество всех узлов
 и составляет сетку
(рис. 1), в данном случае введенную на отрезке.
В это множество можно включить граничные точки . Обозначим
На отрезке [0, 1] вместо функции непрерывного
аргумента y будем
рассматривать функцию дискретного аргумента . Значения этой
функции вычисляются в узлах сетки ,а сама функция
зависит от шага сетки h как от параметра.
Пример 2.
Неравномерная сетка на отрезке. Рассмотрим
отрезок  . Вводя
произвольные точки , разобьем его на N
частей. Множест…