Контрольная Теоретическая механика. Задания С1, С2, К1, К2, Д1 — Д3. Учебная работа № 187426

Учебная работа № 187426. Контрольная Теоретическая механика. Задания С1, С2, К1, К2, Д1 — Д3

Выдержка из похожей работы

…….

Теоретическая физика: механика

…..анонические преобразования Канонические преобразования переменных – это такие преобразования, при
которых сохраняется канонический вид уравнений Гамильтона. Преобразования
производят с помощью производящей функции, которая является функцией
координат, импульсов и времени. Полный дифференциал производящей функции
определяется следующим образом: [pic] (1) Выбирая производящую функцию от тех или иных переменных, получаем
соответствующий вид канонических преобразований. Заметим, что если частная
производная будет браться по «малым» [pic], то будем получать малое [pic],
если же по «большим» [pic], то и получать будем соответственно [pic]. Функция Гамильтона-Якоби При рассмотрении действия, как функции координат (и времени), следует
выражение для импульса: [pic] (2) Из представления полной производной действия по времени следует
уравнение Гамильтона-Якоби: [pic] (3) Здесь действие рассматривается как функция координат и времени: [pic]. Путем интегрирования уравнения Гамильтона-Якоби (3), находят
представление действия в виде полного интеграла, который является функцией
s координат, времени, и s+1 постоянных (s – число степеней свободы).
Поскольку действие входит в уравнение Гамильтона-Якоби только в виде
производной, то одна из констант содержится в полном интеграле аддитивным
образом, т.е. полный интеграл имеет вид: [pic] (4) Константа А не играет существенной роли, поскольку действие входит везде
лишь в виде производной. А определяет, что, фактически, лишь s констант
меняют действие существенным образом. Эти константы определяются начальными
условиями на уравнения движения, которые для любого значения А будут иметь
одинаковый вид, как и само уравнение Гамильтона-Якоби. Для того чтобы выяснить связь между полным интегралом (4) уравнения Г.-
Я. (3) и интересующими нас уравнениями движения, необходимо произвести
каноническое преобразование, выбрав полный интеграл действия в качестве
производящей функции. Константы [pic] будут выступать в качестве новых импульсов. Тогда новые
координаты [pic] (5) тоже будут константы, поскольку [pic] (6) Выражая из уравнения (5) координаты [pic] в виде функций от [pic], мы и
получим закон движения: [pic] (7) Решение задачи на нахождение зависимости (7) существенно упрощается в
случае разделения переменных. Такое возможно, когда какая-то координата
[pic] может быть связана лишь с соответствующим ей импульсом [pic] и не
связана ни с какими другими импульсами или координатами, входящими
уравнение Г.-Я. В частности это условие выполняется для циклических
переменных. Итак, нахождение уравнений движения методом Гамильтона-Якоби сводится к
следующему: 1. составить функцию Гамильтона; 2. записать уравнение Г.-Я., и определить какие переменные разделяются; 3. Путем интегрирования уравнения Г.-Я. получить вид полного интеграла [pic]; 4. Составить систему s уравнений[pic], и получить закон движения [pic]; 5. По необходимости найти закон изменения импульсов: [pic]. Для чего продифференцировать полный интеграл по координатам [pic], а потом подставить их явный вид, полученный в пункте 4. Примеры решения задач №11.14 [4] Как известно, замена функции Лагранжа [pic] на [pic], (1.1) где [pic] – произвольная функция, не изменяет уравнений Лагранжа.
Показать, что это преобразование является каноническим, и найти его
производящую функцию. Решение: Перепишем штрихованную функцию Лагранжа, представив полную производную
функции [pic] через частные: [pic] (1.2) Функции Гамильтона, соответствующие штрихованной и не штрихованной
функциям Лагранжа, определяются следующим образом: [pic] (1.3) [pic] (1.4) Распишем [pic], используя представление штрихованной функции Лагранжа
(1.2): [pic] (1.5) Подставляя формулы (1.5) и (1.2) в выражение для штрихованной функции
Гамильтона (1.4), получим: [pic] (1.6) Взаимно сократив второе слагаемое с последним, учитывая зависимость
(1.3…