Контрольная Явление автоколебаний (доклад). Учебная работа № 187283

Учебная работа № 187283. Контрольная Явление автоколебаний (доклад)

Выдержка из похожей работы

…….

Автоколебания системы с одной степенью свободы

…..плитуды «исчезнувших»
автоколебаний. Интервал захватывания зависит от интенсивности сигнала и от
автоколебательной системы.
Теоретически этот вопрос уже
разбирался, однако методами математически недостаточно строгими; кроме того,
бралась характеристика весьма частного вида — кубическая парабола. Поэтому мы
будем рассматривать   случай произвольной характеристики при колебаниях близких
к синусоидальных.
В этой работе мы рассмотрим
периодические решения с периодом, равным периоду внешней силы, и их
устойчивость при малых отклонениях. Мы оставим в стороне другие стационарные
движения, возможные в исследуемой системы, например периодические решения с
периодом, кратным периоду внешней силе, или квазипериодические решения. Мы
оставим в стороне важный вопрос об устойчивости при больших отклонениях
Для отыскания периодических
решений воспользуемся методом Пуанкаре, которые позволяют быстро решить задачу
для случая колебаний, достаточно близких к синусоидальным. С этой целью введем
в наше уравнение параметр m таким образом, чтобы при m = 0 уравнение превращалось в линейное и колебания делались
синусоидальными. Этот параметр m, который мы предполагать
достаточно малым, может иметь различный смысл в зависимости от выбора системы.
Для решения вопроса об
устойчивости найденного решения при малых отклонениях воспользуемся методами
Ляпунова, требуя, чтобы искомые решения обладали «устойчивостью по
Ляпунову».
В настоящей работе мы не
будем вычислять радиусы сходимости тех рядов,    с которыми нам придется иметь
дело; грубая оценка может быть сделана по Пуанкаре.
В § 1 и 2 рассматривается
область достаточно сильной расстройки; § 3 и 4 посвящены рассмотрению области
резонанса; в § 5 показывается, как общие формулы для амплитуд и для
устойчивости, полученные в § 1- 4, могут быть применены в конкретных случаях,
причем в качестве примера рассматривается случай Ван дер Поля. Результаты
применения общих формул совпадают с теми, которые получил нестрогим путем Ван
дер Поль.
§ 1 Отыскание периодического решения в случае
достаточно сильной расстройки.
Уравнение, которое нас будет
интересовать:
При m = 0 это уравнение имеет единственное периодическое решение
Рассмотрим случай, когда   m бесконечно мало. Согласно Пуанкаре мы будем искать решение (1) в
следующем виде:
Начальные условия  выберем
так:
F2 — степенной ряд по b1 b2, m начинающийся с членов второго
порядка. Подставим (3) в (1):
Сравнивая коэффициенты при    b1 b2, m  получим уравнение для А, В, С. Начальные условия можно получить для
них, подставив (4) в (3).
Решая задачи Коши, получим:
Для того, чтобы (3)
представляли периодические решения необходимо и достаточно, чтобы
Введем обозначения  ; для остальных функций аналогично.
Тогда (6) запишется в виде:
Если в этой системе можно b1 b2  представить
в виде функции  m так, чтобы b1 b2, m исчезли из системы (7) , то (3)
— периодическое решение уравнения (1). Иначе Х- не периодично. Достаточным
условием существования периодического решения при малых  m служит неравенство 0 Якобиана.
В …