Тема: Аппроксимация функции методом наименьших квадратов. Учебная работа № 430216

Учебная работа № 430216. Тема: Аппроксимация функции методом наименьших квадратов

Выдержка из похожей работы

…….

Аппроксимация функции к полиному n степени методом наименьших квадратов

…..адратов находит широкое применение при
обработке экспериментальных данных.

В первом разделе рассмотрена математическая модель задачи нахождения
полинома и расчета его корней, определяющая входные и выходные данные
программы.

Во втором разделе рассмотрено проектирование программного модуля, также
описана схема модуля и рассмотрен пользовательский интерфейс.

В третьем разделе рассмотрен тест программного модуля.

1.
Постановка задачи

.1
Математическая модель задачи

Аппроксимация (или упрощение кривыми) – это процесс замены таблично
заданной функции y(x) аналитическим выражением кривой g(x), которая необязательно совпадает с допустимой погрешностью.
Одним из видов аппроксимации табличных функций является степенной ряд
(полином). Для определения коэффициентов в аналитических выражениях используют
метод наименьших квадратов, при котором коэффициенты определяются таким
образом, что суммарная квадратичная ошибка

в
узлах таблицы являются минимальными.

Рассмотрим
задачу. Известна таблица (таблица 1) значений двух переменных x и y.

Таблица
1 – Значения x и y

x

 x0
x1 x2 … xn-1 xn

y

 y0 y1 y2 … yn-1
yn

Требуется
найти зависимость между переменными в виде уравнения .

Предполагается,
что каждое данное  измерено с некоторой неизвестной ошибкой , где  –
истинное значение.

Если
данные предположения (гипотеза Гаусса) выполняются, среди семейства
параметрических кривых  наибольшую вероятность для данной совокупности данных
 обеспечивает кривая, для которой минимальна сумма
квадратов отклонений во всех точках :

.

Параметры
эмпирической формулы  находятся из условия минимума функции , который определяется путем приравнивания нулю
частных производных этой функции по всем ее переменным :

.

Полученные
соотношения – система уравнений для определения параметров .

Очень
часто в качестве эмпирической функции используется многочлен степени m:

.

Тогда

;

.

Приравнивая
эти выражения нулю и собирая коэффициенты при неизвестных , получаем следующую систему уравнений:

,

где
.

Далее
подставив значения координат точек в систему уравнений запишем ее в более
компактной форме:

,

где
уже неизвестное – это . Решая
эту систему линейных уравнений, получаем коэффициенты , которые являются искомыми параметрами эмпирической
формулы. Для решения системы линейных уравнений воспользуемся методом Якоби.
Для начала запишем систему уравнений в векторном виде

,

где

.

Предполагается,
что матрица А неособенная, т. е. , и
решение единственно.

Если
все диагональные коэффициенты , то
систему  можно представить в так называемом приведенном виде:

где

Введем
обозначения

и
перепишем систему (1) в виде одного матричного уравнения

 (2)

Здесь
ax -произведение матрицы a на вектор x.

Последовательные
приближения (итерации) найдем следующим образом. Возьмем в качестве начального
приближения x(0) вектор β и подставим его в правую часть уравнения (2); получим x(1).
Продолжая аналогичные вычисления, придём к векторной последовательности
приближений:

Если
существует придел ξ
последовательности векторов x(k),
то, переходя к пределу в равенстве  при k→∞,
убеждаемся, что ξ
является решением уравнения (2), т. е.

Достаточные
условия сходимости итераций к решению содержит следующая теорема.

Теорема.
Если какая либо норма матрицы меньше единицы: ||a||<1, то уравнение (2) имеет единственное решение ξ, к которому стремится последовательность итераций (3) при любом выборе начального приближения x(0). В расчетах полагают x(0)=β. Погрешность приблеженного решения уравнения (2) на k-м шаге оценивают неравенством Из неравенства (4) можно получить оценку числа итераций k, необходимых для обеспечения заданной точности ε. Отклонение приближения x(k) от решения ξ по норме не будет превышать ε, если ...