Тема: Передача, преобразование, хранение и использование информации в технике. Учебная работа № 430049

Учебная работа № 430049. Тема: Передача, преобразование, хранение и использование информации в технике

Выдержка из похожей работы

…….

Преобразование Фурье

…..
Доказательство. Первые два свойства сразу следуют из неравенств

.

Докажем свойство 3). Во первых, y=xjÎC∞(R). Далее,

.

Свойство 4) получается из 3) последовательным применением. В самом
деле, если P(x)=a0+a1x+…+anxn, то по свойству 3) имеем xijÎS(R),
потому функция P(x)j(x)=a0j+a1(xj)+a2(x2j)+…+an(xnj) принадлежит классу Шварца ввиду его линейности.

          Свойство 5) доказывается аналогично свойству 3).

§2. Одномерное преобразование Фурье.

          Определение. Функция

                                                                                        (1)

называется преобразованием Фурье функции j(x) и обозначается F[j]. Ясно, что не для всякой функции j(x) интеграл (1) сходится, и потому не для
всякой функции определено преобразование Фурье.

          Если  (интеграл
Лебега), то будем говорить, что j принадлежит
пространству L1(R).

          Предложение 1. Преобразование Фурье функции j(x) из L1(R) определено и ограничено по модулю на действительной
оси.

          Доказательство следует из равенства  и (1):

          Следствие. Преобразование Фурье определено для функций jÎS(R).

          Доказательство. Достаточно доказать, что S(R)ÌL1(R). Заметим, что если jÎS(R), то
по свойству 4) функция (1+x2)jÎS(R) и,
следовательно, ограничена, а (1+x2)-1ÎL1(R). Поэтому функция (1+x2)j(1+x2)-1ÎL1(R).

§3. Свойства преобразований Фурье функций из S(R).

          1)

Доказательство получается дифференцированием в (1) под знаком интеграла. Это законно,
так как интеграл, полученный после дифференцирования, мажорируется интегралом

сходимость которого вытекает из свойства 3): xj(x)ÎS(R)ÌL1(R).

2) Если jÎS(R), то F[j]ÎC¥(R).

Так как -ixjÎS, то доказательство немедленно вытекает из 1).

3)

Доказательство. Очевидно

теперь можно интегрировать по частям

Это и доказывает свойство 3).

          Предложение 2. Преобразование Фурье функции из класса Шварца есть
снова функция из класса Шварца.

          Доказательство. Многократно применяя свойства 1) и 3), устанавливаем

По свойствам 4) и 5) класса Шварца функция

лежит в классе Шварца SÌL1 , и тогда, по предложению пункта 2, функция  ограничена некоторой постоянной, которую мы
обозначим Cn,m. Предложение
доказано.

§4. Обратное преобразование Фурье.

          Определение. Функция

называется обратным преобразованием Фурье функции j(y) и обозначается F-1[j].

          Нетрудно проверить, что обратное преобразование Фурье функций
из S(R) обладает свойствами, аналогичными прямому:

1)

2)

3)

Докажем, что F-1[F[j]]=j для любой функции jÎS. Для
этого потребуется

Лемма. Пусть непрерывная функция h(y)ÎL1(R) имеет почти всюду ограниченную производную.
Пусть

такой набор точек, что на интервалах (yi,yi+1)
функция h класса C2, i=1,2,…,n. Тогда для всех x,
отличных от yi, i=1,2,…,n+1, справедливо соотношение

          Доказательство. Так как h(y)ÎL1 , то для всякого e>0
найдется такое А, что

при всех t>0. Заметим, что

                         (3)

Тогда Yandex.RTB R-A-98177-2

(function(w, d, n, s, t) {
w[n] = w[n] || [];
w[n].push(function() {
Ya.Context.AdvManager.render({
blockId: “R-A-98177-2”,
renderTo: “yandex_rtb_R-A-98177-2”,
async: true
});
});
t = d.getElementsByTagName(“script”)[0];
s = d.createElement(“script”);
s.type = “text/javascript”;
s.src = “//an.yandex.ru/system/context.js”;
…