Контрольная Физический маятник. Лабораторная работа №4. Учебная работа № 187637

Учебная работа № 187637. Контрольная Физический маятник. Лабораторная работа №4

Выдержка из похожей работы

…….

Движения физического маятника и его модель в Maple

…..ник колеблется так же, как математический с приведённой длиной.
1.1    Уравнение
колебаний математического маятника
Колебания математического маятника
описываются обыкновенным дифференциальным уравнением вида
где ω ―
положительная константа,
определяемая исключительно из параметров маятника. Неизвестная функция  ― это угол
отклонения маятника в момент  от нижнего положения равновесия, выраженный в радианах;
где  ― длина
подвеса,  ―
ускорение свободного падения. Уравнение малых колебаний маятника около нижнего
положения равновесия (т. н. гармоническое уравнение) имеет вид:
1.2    Гармонические
колебания
Маятник, совершающий малые колебания,
движется по синусоиде. Поскольку уравнение движения является обыкновенным ДУ
второго порядка, для определения закона движения маятника необходимо задать два
начальных условия – координату и скорость, из которых определяются две
независимых константы:
где  амплитуда колебаний маятника,  – начальная фаза колебаний, – циклическая частота, которая определяется из уравнения движения.
Движение, совершаемое маятником, называется гармоническими колебаниями.
1.3    Нелинейный маятник
Для маятника, совершающего колебания с
большой амплитудой, закон движения более сложен:
где  – это синус Якоби. Для  он является периодической функцией, при малых  совпадает с обычным тригонометрическим синусом.
Параметр  определяется выражением
где  – энергия
маятника в единицах t−2.
Период колебаний нелинейного маятника
где K – эллиптический интеграл первого рода.
Для вычислений практически удобно разлагать эллиптический интеграл
в ряд:
,
где
период малых колебаний,  – максимальный угол отклонения маятника от вертикали.
При углах до 1 радиана (≈60°) с приемлемой точностью (ошибка
менее 1%) можно ограничиться первым приближением:
1.4    Физический маятник
Физический маятник – осциллятор, представляющий
собой твёрдое тело, совершающее колебания в поле каких-либо сил относительно
точки, не являющейся центром масс этого тела, или неподвижной оси,
перпендикулярной направлению действия сил и не проходящей через центр масс
этого тела.
Обозначения:
·              θ – угол отклонения маятника от равновесия;
·              α – начальный угол отклонения маятника;
·              – масса маятника;
·              – расстояние от точки подвеса до центра тяжести маятника;
·              – радиус инерции относительно оси, проходящей через центр
тяжести.
·              – ускорение свободного падения.
Момент инерции относительно оси,
проходящей через точку подвеса:
Дифференциальное уравнение движения
физического маятника
Пренебрегая сопротивлением среды,
дифференциальное уравнение колебаний физического маятника в поле силы тяжести
записывается следующим образом:
Полагая , предыдущее уравнение можно переписать в виде:
Последнее уравнение аналогично уравнению колебаний математического
маятника длиной . Величина  называется приведённой длиной физического маятника.
Центр качения физического маятника:
Центр качания
– точка, в которой надо сосредоточить всю массу физического маятника, чтобы его
период колебаний не изменился.
Поместим на луче, проходящем от точки подвеса через центр тяжести
точку на расстоянии  от точки подвеса. Эта точка и будет центром качания маятника.
 
.5      Теорема Гюйгенса
 
Формулировка. Если физический маятник подвесить за
центр качания, то его период колебаний не изменится, а прежняя точка подвеса
сделается новым центром качания.
Доказательство. Вычислим приведенную длину для нового
маятника:
Совпадение приведённых длин для двух
случаев и доказывает утверждение, сделанное в теореме.
1.6    Периодические
колебания физического маятника
Для того, чтобы найти период колебаний
физического маятника, необходимо решить уравнение качания.
Интегрируя это уравнение, получаем.
…